\chapter{ワイヤードリフトチェンバーの動作原理}
\label{chp:4}
本章ではワイヤードリフトチェンバー（以下、ドリフトチェンバー）に入射した粒子が信号となりワイヤーに伝わるまでの原理を記す。加えて、ドリフトチェンバーによって位置情報を得る際の原理も記す。

一般に、ドリフトチェンバー等の、ワイヤーの周りに高電場をかけて信号を得るタイプの検出器では1. 一次電子の発生、2. 一次電子のドリフト、3. 電子雪崩による増幅という3つの段階を経る。以下にこの3つの段階について、個々に簡単に説明する。ここでは本研究で主に扱ったAr-C$_2$H$_6$混合ガスとAr-CO$_2$混合ガスに主に注目して説明する。

\section{一次電子の発生}
ドリフトチェンバーに入ってきた荷電粒子はチェンバーに充填してあるガスと電磁相互作用をする。それによってガス中の原子、分子にエネルギーを渡すことで電離させ、一次電子を発生させる。入射荷電粒子が媒質中で$X\;\si{cm}$進んだ時に生ずる、平均的な電磁相互作用（クーロン相互作用）によるエネルギー損失はBethe-Blochの式から得られる。
\begin{equation}
    -\frac{dE}{dx} = K\frac{Z}{A}\frac{\rho}{\beta^2} \left[ \ln \left( \frac{2mc^2\beta^2 E_M }{I^2(1-\beta^2} \right) - 2\beta^2 )\right], \quad K = \frac{2\pi N z^2 e^4}{mc^2}
\end{equation}
ここで、$N$はアボガドロ数、$m$と$e$は電子の質量と素電荷、$Z,\; A,\;\rho$はそれぞれ原子番号、原子量、媒質の物質密度である。$I$は平均電離ポテンシァルと呼ばれる物理量である。$z,\;\beta$は入射粒子の電荷と速度である。単位電荷あたりでは、$K=0.154\;\si{MeV\;g^{-1}\;cm^2}$である。この式をいくつかの媒質に当てはめたのが図\ref{fig:3-2}である。
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{fig/fig_chp_4/4-1.png}
    \caption{電磁相互作用によるエネルギー損失\cite{pdg:2024}}
    \label{fig:3-2}
\end{figure}
\begin{comment}
$E_M$は、2つの物体が相対論的に交換することのできる最大エネルギーであり、次のように記述される。
\begin{equation}
    E_M = \frac{2mc^2\beta^2}{1-\beta^2}
\end{equation}
例えば、1$~$GeV/$c$の陽子、すなわち$\beta=0.73$では$E_M = 1.2\;\si{MeV}$である。
\end{comment}
ここで、表\ref{tab:gas prop}に標準状態における気体の諸特性を示す。ここで、$E_{ex}$は最小励起エネルギー、$E_{i}$は最小電離エネルギー、$I_0$は1電子あたりの平均有効電離ポテンシャル($I_0=I/Z$)、$W_1$は1イオン対あたりのエネルギー損失、$(dE/dx)_0$は最小エネルギー損失、最小エネルギー損失におけるエネルギーでの1$\;$cmの飛行あたりに生成される第一イオン対の数が$n_p$、最小エネルギー損失におけるエネルギーでの1$\;$cmの飛行あたりに生成されるイオン対総数が$n_T$である。電離で生じた電子のエネルギーが100~eV以上ある場合、その電子はさらに原子や分子を電離させることができる。一般に$n_T$は$n_p$の2倍から7倍となる。
\begin{table}[H]
\centering
\caption[気体の物理特性]{気体の物理特性\cite{K_C_textbook}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
\setlength{\tabcolsep}{3pt} 
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\toprule
\textbf{Gas} & \textbf{$Z$} & \textbf{$A$} & \makecell{$\rho$ \\ (g/cm$^3$)} & \makecell{$E_\text{ex}$ \\ (eV)} & \makecell{$E_\text{i}$ \\ (eV)} & \makecell{$I_0$ \\ (eV)} & \makecell{$W_\text{l}$ \\ (eV)} & \makecell{$\frac{dE}{dx}_0$ \\ (keV/cm)} & \makecell{$n_\text{p}$ \\ (cm$^{-1}$)} & \makecell{$n_\text{T}$ \\ (cm$^{-1}$)} \\ 
\midrule
H$_2$   & 2  & 2     & $8.38 \times 10^{-5}$ & 10.8 & 15.9 & 15.4 & 37  & 0.34 & 5.2  & 9.2 \\ 
He      & 2  & 4     & $1.66 \times 10^{-4}$ & 19.8 & 24.5 & 24.6 & 41  & 0.32 & 5.9  & 7.8 \\ 
N$_2$   & 14 & 28    & $1.17 \times 10^{-3}$ & 8.1  & 16.7 & 15.5 & 35  & 1.96 & (10) & 56  \\ 
O$_2$   & 16 & 32    & $1.33 \times 10^{-3}$ & 7.9  & 12.8 & 12.2 & 31  & 2.26 & 22   & 73  \\ 
Ne      & 10 & 20.2  & $8.39 \times 10^{-4}$ & 16.6 & 21.5 & 21.6 & 36  & 1.41 & 12   & 39  \\ 
Ar      & 18 & 39.9  & $1.66 \times 10^{-3}$ & 11.6 & 15.7 & 15.8 & 26  & 2.44 & 29.4 & 94  \\ 
Kr      & 36 & 83.8  & $3.49 \times 10^{-3}$ & 10.0 & 13.9 & 14.0 & 24  & 4.60 & (22) & 192 \\ 
Xe      & 54 & 131.3 & $5.49 \times 10^{-3}$ & 8.4  & 12.1 & 12.1 & 22  & 6.76 & 44   & 307 \\ 
CO$_2$  & 22 & 44    & $1.86 \times 10^{-3}$ & 5.2  & 13.7 & 13.7 & 37  & 3.01 & (34) & 91  \\ 
CH$_4$  & 10 & 16    & $6.70 \times 10^{-4}$ & 15.2 & 15.2 & 13.1 & 28  & 1.48 & 16   & 53  \\ 
C$_4$H$_{10}$ & 34 & 58 & $2.42 \times 10^{-3}$ & 10.6 & 10.8 & 10.8 & 23  & 4.50 & (46) & 195 \\ 
\bottomrule
\end{tabular}
\label{tab:gas prop}
\end{table}

第一のイオン化衝突が発生し、媒質内で電子-イオン対を生成する。このとき、放出された電子が十分なエネルギー（媒質のイオン化電位より大きい）を持つ場合、更なるイオン化を引き起こし、二次イオン対を生成する。この二つの寄与の合計が全イオン化と呼ばれる。全イオン対数は次式で表現できる。
\begin{equation}
    n_T = \frac{\Delta E}{W_i}
\end{equation}
ここで、$\Delta E$は考慮するガス体積内の総エネルギー損失である。気体混合物に対しては、単純な組成法則を適用できる。例として、最小電離粒子がAr-CO$_2$の90:10混合物の厚さが1$\;$cmの場合における第一イオン対および全イオン対の数を計算する。
\begin{equation}
    \label{eq:nmin}
    n_T = \frac{2440}{26} \cdot 0.9 + \frac{3010}{37} \cdot 0.1 = 91 \; \text{pairs/cm},
\end{equation}
\begin{equation}
    n_p = 29.4 \cdot 0.9 + 34 \cdot 0.1 = 30 \; \text{pairs/cm}.
\end{equation}
また、Ar-C$_2$H$_6$ (50:50)に関しては\cite{arc2h6}に1大気圧下での$W_i$が測定されており、約25.1~eVである。
ここまで荷電粒子の電磁相互作用を考えてきたが、例えば光子($\gamma$線や$X$線)も物質と相互作用する。相互作用の種類は3つで、光電吸収、コンプトン散乱、電子陽電子対生成である。光電吸収は数~keV〜100$\;$keVの領域で主である。それ以上になる光電吸収の割合は小さくなり、ほとんどコンプトン散乱となる。1.02$\;$MeVを超えると電子陽電子対生成も生じ始める。光電吸収時は光子のエネルギーが媒質原子に全て渡される。ここで、よく検出器の動作確認用に用いられる$^{55}$Fe線源を考える。$^{55}$Feは半減期2.737年で5.9$\;$keVの$X$線を放出する。このエネルギー帯の光子は媒質中原子に一定の確率で光電吸収され5.9$\;$keVをその原子に渡す。媒質中でこの5.9$\;$keVは基本的に全て電離に使われる。Ar-CO$_2$の90:10混合ガスに5.9$\;$keVを渡した時、生じる全イオン対は
\begin{equation}
    n_T = \frac{5900}{26} \cdot 0.9 + \frac{5900}{37} \cdot 0.1 = 220 \; \text{pairs/cm},
\end{equation}
となる。5.9~keV全て使われた場合は上式のように計算できるが、実際には5.9~keVの光子が最も相互作用する確率が高いのはK殻電子であり、この光電効果の際に出てくる電子のエネルギーはK殻の束縛エネルギー3.2~keV分を差し引いた2.7~keVである。この2.9~keVの電子がさらに電磁相互作用によってエネルギーを他の電子に移行していくことを繰り返す。5.9~keV全て使われる場合というのは、光電効果の際に原子に渡した2.9~keVが原子自身の電子にエネルギーを与え、その電子（オージェ電子）が飛び出し、他の原子の電子にエネルギーを移行ししていく場合と、空いたK殻に外殻（最も高確率なのはL殻）の電子が脱励起し、特性$X$線（L殻からの場合、KX線(2.94~keV)）を出し、その$X$線が光電効果をしてさらに電子を出していく場合がある。KX線が生じた場合、原子に余ったエネルギー$3.2 - 2.94 = 0.24$~keVによってさらにオージェ電子が生じてその電子がさらに電離に寄与する。この$KX$線がこれ以上相互作用せずに検出器から逃げていく場合がある。その際、5.9~keV中電離に使われるエネルギーは2.94~keVであり、$n_T$も逃げたKX線のエネルギー分減少する。エネルギースペクトルを測定した場合は5.9~keVと2.94~keVにピークが現れる（エスケープピーク）。

\section{一次電子のドリフトと拡散}
電場がない場合、生じた一次電子のエネルギー分布は以下のように表せる：
\begin{equation}
    F(\epsilon) = C\sqrt{\epsilon} e^{-\frac{\epsilon}{2kT}}
\end{equation}
電子が分子に衝突し熱平衡化する。初めに \( N \) 個の電子があったとき、時間 \( t \) 後に距離 \( x \) から \( x + dx \) のあいだに見つかる電子の数 \( dN \) は、
\begin{equation}
    \frac{dN}{N} = \frac{1}{\sqrt{4\pi D t}} \exp\left({{-\frac{x^2}{4Dt}} dx}\right)
\end{equation}
ここで \( D \) は拡散係数であり、電子の熱運動による速度と平均自由行程に比例する量である。この分布の分散 \(\sigma\) は
\begin{equation}
    \label{eq:sigma}
    \sigma = \sqrt{2Dt}
\end{equation}
であり、ドリフトチェンバーの位置分解能の限界を決める要因の一つである。実際には検出器本来の位置分解能$R_\text{pos}$は一次電子数$n_T$も考慮した以下の量に比例する：
\begin{equation}
    \label{eq:posreso}
    R_\text{pos} \propto \frac{\sigma}{\sqrt{n_T}} = \sqrt{\frac{2Dt}{n_T}}
\end{equation}
電場がある場合、電子は電場 \( E \) によって加速され運動エネルギーが熱平衡エネルギーより大きくなる。電子の自由行程は短いため、すぐに分子と衝突しエネルギーを失う。よって、電場が弱いときは電子のエネルギーは高くならない。電子のドリフト速度 \( v \) は運動量変化と力積 \( \Delta p = \int F dt \) より、以下の式が成り立つ。$\tau$は電子が分子と衝突したあと、次の衝突をするまでの時間である。
\begin{equation}
    v = \frac{e}{m} E \tau 
\end{equation}
衝突の断面積は、電場とガスの種類によって大きく変わる。そのため、他のガスが少量混入すると電子のドリフト速度$v$は大きく変わる。イオン化を伴う衝突がほとんど無視できる場合、電子のエネルギー分布は
\begin{equation}
    F(\epsilon) = C \sqrt{\epsilon} \exp\left(- \int \frac{3\Lambda(\epsilon)d\epsilon}{[eE\lambda(\epsilon)]^2 + 3kT\Lambda(\epsilon)}\right)
\end{equation}
\(\Lambda(\epsilon)\): 衝突で電子が失うエネルギー \\
\(\lambda(\epsilon)\): 平均自由行程 \\
\(N\): 単位体積あたりのガスの分子量 \\
\(\sigma(\epsilon)\): 衝突断面積
と表せる。
弾性散乱および非弾性散乱の断面積がわかると、\( F(\epsilon) \) が計算できる。これにより、ドリフト速度$v$と拡散係数 \( D \) は、\( u \) をエネルギー \(\epsilon\) のときの電子の瞬間速度としたときそれぞれ以下のようになる。
\begin{equation}
    v(E) = -\frac{2eE}{3m} E \int \epsilon \lambda(\epsilon) \frac{\partial \left( F(\epsilon) u^{-1} \right)}{\partial \epsilon} d\epsilon
\end{equation}
\begin{equation}
    D(E) = \int \frac{1}{3} u\lambda(\epsilon) F(\epsilon) d\epsilon
\end{equation}
一般にこれらを手計算で求めるのは難しいため、ガスシミュレーションツール「Garfield」等を用いて計算する。

\section{電子雪崩による増幅}
電子がドリフトしてワイヤーのごく近傍領域に到達し、電場が$10^4\sim10^5\;$V/cmを超えると、多くの電子が衝突間で十分なエネルギーを得ることができ、非弾性現象、様々な種類の励起、そしてイオン化を引き起こす。イオン化の確率は、閾値を超えると急激に増加し、ほとんどの気体で約100$\;$eV（図\ref{fig:3-4}参照）で最大値に達する。
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/fig_chp_3/3-4.png}
    \caption{各原子に対する電子衝突電離の反応断面積\cite{takamura_textbook}}
    \label{fig:3-4}
\end{figure}
イオン化の平均自由行程は、電子がイオン化衝突するまでに移動する平均距離として定義される。イオン化の平均自由行程の逆数は、第一次タウンゼント係数と呼ばれ、慣例的に$\alpha$と書き、単位ドリフト長あたりに生成されるイオン対の数を表す。実効電場$E/P$の関数としての$\alpha/P$の値が図\ref{fig:3-5}に、電子のエネルギー$\epsilon$に対する$\alpha/P$の依存性が図\ref{fig:3-6}に示されている。
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig/fig_chp_3/3-5.png}
    \caption[第一タウンゼント係数の電場依存]{第一タウンゼント係数の電場依存\cite{K_C_textbook}}
    \label{fig:3-5}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{fig/fig_chp_3/3-6.png}
    \caption[電離断面積と第一タウンゼント係数の電子のエネルギー依存]{電離断面積と第一タウンゼント係数の電子のエネルギー依存\cite{K_C_textbook}}
    \label{fig:3-6}
\end{figure}
平均自由行程$\alpha^{-1}$の後、1つの電子-イオン対が生成され第一のイオン化で生じた電子と合わせて電子は2個になる。2つの電子が再びドリフトを続け、さらに1つの平均自由行程の後に2つのイオン対を生成し、この過程が続く。これが電子雪崩である。
位置$x$において$n$個の電子が存在するとすると、路程$dx$における増加数$dn$は$dn=n\alpha dx$で与えられる。
積分により、次式を得る：
\begin{equation}
    n = n_0 e^{\alpha x} \quad \text{または} \quad M = \frac{n}{n_0} = e^{\alpha x}
\end{equation}
ここで$M$は増幅率を表す。不均一な電場の場合、$\alpha(x)$として、式(3.)は次のように修正される：
\begin{equation}
    M = \exp \left[ \int_{x_1}^{x_2} \alpha(x) dx \right]
\end{equation}

イオンと電子のドリフト速度の大きな差（約1000倍）および気体中の移動電荷の拡散を考慮すると、電子雪崩の形が得られる（図\ref{fig:3-7}）。すべての電子は滴状の電荷分布の先端部分に集中し、正イオンは後部に位置する。正イオンは数を減少させながら後方に広がる。
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{fig/fig_chp_3/3-7.png}
    \caption[電子雪崩の形]{電子雪崩の形\cite{sauli_textbook}}
    \label{fig:3-7}
\end{figure}

また、一般に比例計数管やドリフトチェンバーでは増幅率は$M=10^{4}\sim10^5$のオーダーで動作させる。これについては次の小節で述べる。

\section{クエンチガスの必要性}
ここではなぜ希ガス以外のガス、特に分子構造を持つガスを混ぜる必要があるのかを説明する。
\subsection{紫外光子の発生とPenning Transfer}
これまで、一次電子は高電場領域で十分にエネルギーを得るとガス原子と相互作用した際に電離(イオン化)を引き起こし、二次電子を生じさせ、さらにその二次電子がエネルギーを得て三次電子を、、、というように電子雪崩を述べてきた。しかし、実際は相互作用の結果生じるのは電離だけではない。ガス原子•分子を励起させることもある。すなわち、$e^- + A \to A^+ + 2e^-$で表される電離に加えて$e^- + A\to A^*$という励起もあるのである。希ガス$A$とガス$B$の混合ガスを仮定した時、励起された$A^*$は以下の電離を引き起こすと考えられる。
\begin{equation}
    A^* + A \to A_2^+ + e^- 
\end{equation}
\begin{equation}
    A^* + B \to A + B^+ + e^-
\end{equation}
\begin{equation}
    \label{eq:pen1}
    A^* \to A + \gamma
\end{equation}
\begin{equation}
    \label{eq:pen2}
    A^* \to A + \gamma,\quad \gamma + B \to B^+ + e^-
\end{equation}
ただし、式(\ref{eq:pen2})が起こるのはAの発する光子のエネルギーよりもBのイオン化エネルギーが小さい時のみである。これらをPennning Transferと呼ぶ。このように、混合ガスの場合には実際の増幅率は単なるタウンゼント係数$\alpha$だけでは説明できず、このpenning trasferの効果を考慮しなければならない。

\subsection{紫外光子による放電}
先の議論の中の式(\ref{eq:pen1})において励起されたガス原子が光子を発することを見た。この光子は波長が紫外光領域(数10$\;$nm〜200$\;$nmである。一般にエネルギー帯は数eVから2〜30$\;$eVである。この紫外光がチェンバー内に広がり、他のガス原子やカソードなどの物質と相互作用し光電子が生じると、この光電子が一次電子となって一つの事象において二度目の電子雪崩が起きて意図しない、不要な信号を検出してしまうことになる。これは望ましくない。また、一般に増幅率が$10^6$を超えるとそれは比例計数管やドリフトチェンバーの期待する増幅領域から外れる。というのも、比例計数管やドリフトチェンバーは位置を正確に知るための検出器である。にもかかわらず、増幅率が$10^6$を超えた頃から紫外光がもはやあたり一面に広がり、電子雪崩も空間的に広がってしまう。その結果、欲しい位置の情報が消え失せ、最悪の場合際限無く電子雪崩が起き放電し検出器を痛める。

このような事態を避けるために、紫外光による2度目の電子雪崩は防ぐことが必要である。このために希ガスの他に高分子ガスを混ぜる。このような目的のために加えられるガスをクエンチガスと呼び、C$_2$H$_5$OH、CH$_4$、C$_2$H$_6$、iso-C$_4$H$_{10}$、メチラール(OCH$_3$)$_2$CH$_2$、CO$_2$等の有機ガスがよく用いられる。このような分子は紫外光子として100$\;\si{nm}\leq\lambda\leq 200\;\si{nm}$ほどの波長のものを吸収する。吸収したエネルギーはその分子の回転エネルギーや振動エネルギーになる。

\section{ドリフトチェンバーについての基礎的事項}
\subsection{時間情報から位置情報へ}
ドリフトチェンバーの指導原理は、入射粒子の通過時刻と検出信号の時間差$\Delta t$が一次電子の発生点とアノードワイヤーとの距離との間に正確な相関関係があることである。
荷電粒子によって時間$t_0$に生成された電子は、電場に対して速度$w$で移動し、陽極ワイヤーに到達し、そこで電子雪崩の増幅が時間$t_1$に発生する。陽極ワイヤーに対する軌跡の座標$x$は、次のように与えられる：
\begin{equation}
    x = \int_{t_0}^{t_1} w \, dt,
\end{equation}
ドリフト速度$w$が一定の場合、この式は$x = (t_1 - t_0) w$に簡略化される。空間と時間の線形関係が得られることは非常に便利であり、解析が単純になる。これは一様な電場を持つ構造で実現可能である。このように全ての検出領域で一様な電場を作るために、ドリフトチェンバーでは単位区間すなわち「セル」と呼ばれる構造を並べる。衝突型ビーム加速機実験や、ビームを固定標的に衝突させてその後の事象を追うという目的のために、円筒型のドリフトチェンバーがよく使われる。円筒の軸はビーム軸と一致させる。基本的にはカソードワイヤーとアノードワイヤーはビーム軸と並行に張る。ビーム軸方向に対する位置の情報を得たい場合、これに加えてやや傾けたワイヤー(ステレオワイヤー)の層も作る。

\subsection{運動量解析法}
粒子の運動量を導出するために、ビーム軸方向に磁場をかける。円筒型ドリフトチェンバーから得られる飛跡の曲率半径から運動量が得られる。
今、電場ゼロでビーム軸方向に並行な向きに大きさ$B$の磁場の下での電荷$q$で磁場に垂直方向に運動量$p_T$を持つ荷電粒子の運動を考える。この粒子の磁場に垂直な平面内の運動は円運動である。円運動の半径を$r$とすると、運動方程式は
\begin{equation}
    \frac{p_T^2}{mr} = q\frac{p_T}{m}B
\end{equation}
と書けるので、すなわちビーム軸方向の運動量$p_T$は
\begin{equation}
    \label{ptr}
    p_T \; \si{[kg\cdot m/s]} = qBr\;\si{[C\cdot T\cdot m]}
\end{equation}
となる。$p_T$の単位をGeV/$c$にしたいので式\ref{ptr}において単位を明示的に示した。$p_T\;\si{[kg\cdot m/s]}\xrightarrow{}p_T'\;\si{[GeV/}c]$という変換をする。ここで$p_T,\;p_T'$は無次元量であり、
\begin{align*}
    p_T' &= p_T\;[\si{kg\cdot (m/s)}\cdot c/\si{GeV}]\\
       &= p_T\;[\si{kg\cdot (m/s)}\cdot 3\times 10^8\;\si{(m/s)}/(10^9\times \;[\si{C\cdot V}])]\\
       &= p_T\frac{0.3}{e}\;[\si{kg\cdot (m/s)^2/(C\cdot V)}]\\
       &= p_T\frac{0.3}{e}\;[\si{J/J}]\\
       &= p_T\frac{0.3}{e}
\end{align*}
と変換できる。式\ref{ptr}において$q$を素電荷$e$とすると、
\begin{equation}
    \label{pGeV0}
    p_T\;\si{[kg\cdot m/s]} = \frac{e}{0.3}\times p_T'\;[\si{GeV/}c] = eBr\;\si{[C\cdot T\cdot m]}
\end{equation}
となり、$p_T'$を改めて$p_T$と表記すると
\begin{equation}
    \label{pGeV}
    p_T\;[\si{GeV/}c] = 0.3\cdot Br\;[\si{T\cdot m}]
\end{equation}
となる。すなわち磁場の大きさが既知であれば（E80-CDS内の磁場は0.7~T）ドリフトチェンバーで再構成した飛跡の曲率半径$r$を解析で求めることで運動量がわかる。

\subsection{運動量分解能}
運動量は飛跡の曲率半径から求める。すなわち運動量分解能はドリフトチェンバーの位置分解能と直結している。また、運動量分解能は運動量自身にも依存する。これは図\ref{fig:3-2}に見られる通り、荷電粒子が検出器に落とすエネルギーはその荷電粒子の運動量に依存することが原因である。荷電粒子の落とすエネルギーが小さければ一次電子数$n_T$が減少し、結果的に式\ref{eq:posreso}に示す通り位置分解能$R_\text{pos}$が悪くなる（例えば図\ref{fig:2_9}参照）。逆も然りである。













